Di tutte gli insiemi l’esacordale è quello che ha attirato maggiormente l’attenzione di musicisti e studiosi che si sono avvicinati alla serialità e alla teori degli insiemi applicata alle classi di altezze.
Tricordi, tetracordi, pentacordi ed eptacordi godono di un’ampia letteratura per lo più legata all’armonia funzionale. Ma nel contesto insiemistico l’insieme esacordale ha delle caratteristiche che ne fanno uno strumento tra i più interessanti: esso divide l’insieme cromatico in due parti uguali, ed è sottodivisibile in bicordi o tricordi. In ragione della divisione dell’ottava in due parti uguali molti esacordi godono di proprietà di simmetria e complementarietà che li rendono speciali e uno strumento interessante per la composizione.
Molti autori ne hanno quindi ampiamente trattato descrivendoli e classificandoli in modi diversi (Simbriger, Hauer, Rouse, Martino, Perle ad es.) e in base alle loro ricerche possiamo raggrupparli in gruppi aventi diverse caratteristiche in funzione della loro complementarietà:
- esacordi combinabili per trasposizione con il proprio complementare
- esacordi combinabili per inversione
- esacordi combinabili per inversione retrograda
- esacordi combinabili per retrogradazione
Gli 80 esacordi fondamentali possono quindi combinarsi tra loro in modo diverso e e questo ne fa, oltre che l’insieme più interessante, anche quello con il più alto grado di complessità.
Gli esacordi più noti sono il 6-35, ovvero la scala esatonale (0,2,4,6,8,10) e il 6-20, quella alterata (0,1,4,5,8,9). A questi possiamo aggiungere il 6-7, uno dei modi a trasposizione limitata di Messiaen , (0,1,2,6,7,8) e la scala blues 6-47 (0,3,5,6,7,10), nella sua forma primaria (012479), scala interessante al di là del valore storico nel jazz, perchè contiene elementi intervallari estremamente duttili, come testimoniato dal suo codice intervallare [233241]
In continuità con quanto visto nei precedenti articoli vorrei qui proporvi gli esacordi prodotti dall’unione di due tricordi appartenenti allo stesso insieme.
I tricordi in questione vengono definiti generatori
Ogni riga riporta prima i due tricordi generatori separati, nella battuta successiva l’esacordo ottenuto.
Per familiarizzare con i simboli utilizzati sono riportati il nome dei tricordi (3-1, 3-2, ecc) collegati dal simbolo U che significa “unione di insiemi” e l’esacordo risultante con il dettaglio delle altezze. La sigla Tn indica che l’insieme è stato trasportato del numero di semitoni indicati dal numero n. La sigla “i” indica l’inseme nella sua inversione.
Lì dove non c’è identità con quello originario a ciascun insieme esacordale succede nella riga sottostante l’esacordo complementare con i relativi tricordi generatori.
Ovviamente si possono ottenere insiemi esacordali dalla composizione di tricordi non dello stessa tipologia con uno schema che Martino e Rouse così definiscono:
- 4 XXXX
- 3+1 XXXY
- 2+2 XXYY
- 2+1+1 XXYZ
- 1+1+1+1 XYWZ
Di seguito quindi lo schema quindi degli esacordi complementari ottenuti dagli insiemi generatori XXXX o XXYY.
Noterete sicuramente cose interessanti tra cui il fatto che tricordi diversi talvolta generano gli stessi esacordi. Dei 12 tricordi seguenti il tricordo 3-10 (accordo diminuito) è l’unico che non genera una serie dodecafonica completa; la sua serie completa è XXXY in unione con l’insieme 3-10
